机械制图教程—3-2点的投影变换（图文教程）

    点是一切几何形体的基本元素。因此，在变换投影面时，首先要掌握点的投影变换规律。

一、 点的第一次变换

1. 保留H面变换V面

    如图3—3a所示，点A在V/H体系中，正面投影为a′，水平投影为a，保留H面，取一

 铅垂面V1（V1⊥H）来代替正面V，形成新的两投影面体系V1/H。过点A向V1面作垂线（投射线）并与V1面相交，得到新投影面V1上的投影a′1。这样，点A在新、旧两投影面体系中的投影（a、a′和a、a′1）都为已知。其中a′1为点A在新的V1面上的投影，a′为被替换的V面的旧投影，a为新、旧两投影体系中共有的不变投影。它们之间有下列关系：

（1）由于这两个投影面体系具有公共的被保留的投影面H，点A到H面的距离（即Z坐标）在新、旧两投影面体系中都是相同的，即a ′ax=Aa= a′1ax1。

（2）当V1面绕X1轴旋转展开到与H面成一个平面时，根据点的投影规律可知，a a′1必垂直与X1轴。这和a ′a⊥X轴的性质相同。

2．  保留V面变换H面

如图3—4所示，取正垂面H1来代替H面，H1面和V面构成新的两投影面体系V/ H1，求出点A的新投影a1。因新、旧两体系具有公共的V面，因此，也有下列关系：

（1）a1 ax1=A a ′=a ax；

（2）a′a1⊥X1轴。

3．点的投影变换规律

 由图3—3、图3—4可知，变换任何一个投影面，而被保留的一个投影面是新、旧两投影面体系中的公共投影面，点在新、旧两投影面体系中必有一个坐标是不变的。由此可以得出点的投影变换规律：

（1）点的新投影和被保留的投影连线必垂直于新投影轴。

（2）点的新投影到新投影轴的距离，等于被替换的点的旧投影到旧投影轴的距离。

按点的投影变换规律，可得出求点的新投影的作图方法，也就是投影变换的基本作图法：

（1）如图3—3c、图3—4b所示，在按实际需要确定新投影轴以后，由所保留的点的投影作垂直于新投影轴的投影连线。

（2）在投影连线上，从新投影轴向新投影面一侧量取一段距离，等于点被替换的投影至被替换的投影轴（旧投影轴）之间的距离，即得出该点所求的新投影。

二、点的两次变换

    运用换面法解决实际问题时，变换一次投影面有时不足以解决问题，需要连续变换两次或多次。图3—5a、b表示两次变换时，点A的直观图及其投影图。

    两次或多次变换时，求点的新投影方法、作图原理与变换一次投影面相同。

必须强调的是：在变换投影面时，每次新投影面的选择都必须符合前面所述的两个条件；而且不能一次变换两个投影面，必须在变换完一个投影面之后，在新的两投影面体系中，依次交替地再变换另一个投影面（前次被保留的投影面）。第一次换面的旧投影轴指的是原体系中的X轴；而第二次换面时所用的新投影轴，即X1轴。多次换面，以次类推。第一次、第二次变换时的新投影面、新投影轴和新投影的字母符号都分别加注下标1、2，更多次的变换也以次类推。

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