机械制图教程-(3.2)立体与立体相交（图文教程）

3.2立体与立体相交

3.2.1概述

   立体与立体相交,在立体表面产生的交线称为相贯线,如图3-11所示。根据立体表面的性质,两立体相交可分为三种情况:(1)两平面立体相交;(2)平面立体与曲面立体相交;(3)两曲面立体相交。前两种情况就是求平面与平面立体或曲面立体的截交线问题。这些在前面都已经叙述过，这里不再讨论，本节着重介绍两回转体相交时相贯线的性质及作图方法。

 图3-11两回转体相交时的相贯线

   两回转体相交时具有以下的性质：

（1）封闭性相贯线一般为封闭的空间曲线，特殊情况下是平面曲线或直线。

（2）共有性相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。

因此，求相贯线的问题其实就是求线面交点或面面交线的问题。

3.2.2求两回转体的相贯线

   求回转体的相贯线的方法有利用积聚性表面取点法和辅助平面法等。

3.2.2.1利用积聚性表面取点法

图3-12利用积聚性求相贯线

   当相交的两回转面中，只要有一个是轴线垂直于投影面的圆柱面时，相贯线在该投影面上的投影与圆柱面的积聚性投影重合，因此相贯线的这个投影就是已知的。这时相贯线可视为另一回转体表面上的曲线，可利用面上取点法求出相贯线的其余投影。

在图3-12中，有两个轴线垂直相交的圆柱体，相贯线为一封闭的空间曲线。大圆柱轴线垂直于W投影面，小圆柱轴线垂直于H投影面，所以相贯线的水平投影和小圆柱的水平投影重合，为一个圆；相贯线的侧面投影和大圆柱的侧面投影重合，为一段圆弧。

因此，只需求出相贯线的正面投影。

作图：

(1）求特殊点。相贯线上的特殊点主要是转向轮廓线上的点和极限位置点。最高点Ⅰ、Ⅱ，最低点Ⅲ、Ⅳ，也是转向轮廓线上的点，它们的水平投影和侧面投影都已知，正面投影1′、2′、3′（4′）可由投影关系直接求出。          

（2）求一般点。在相贯线的水平投影上任取一般点5、6、7、8，同上，可利用投影关系求出5″(7″)、6″(8″)和 5′（6′）、7′（8′）。

（3）判别可见性，依次光滑连接各点。判别相贯线投影可见性的原则是：只有同时位于两立体可见表面的相贯线才是可见的。由图可知，该相贯线前后对称，故其正面投影虚线和实线重合。

    两回转体相交，可能是立体的外表面相交，也可能是立体的内表面相交，因此就会出现图3-13所示的两外表面相交和外表面与内表面相交、两内表面相交三种形式。不管是哪种相交形式，只要相交的两个回转体表面的形状、相对尺寸大小及表面相对位置不变，则它们的相贯线形状和作图方法都是相同的。

图3-13两圆柱面相交的三种形式

3.2.2.2用辅助平面法求相贯线

    当相交的两个回转体的投影没有积聚性，它们的相贯线不能用表面取点法作图时，可采用辅助平面法。所谓辅助平面法就是根据三面共点的原理,利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点,从而求出相贯线的投影方法，见图3-14。

    为了作图简便,选择辅助平面时应遵守以下原则:即所选择的辅助平面与两相贯体的截交线的投影是最简单的直线或圆。

    图3-14为圆柱与半圆球相交,由于圆柱的轴线垂直于侧立面，相贯线的侧面投影积聚在圆周上，为已知，故只需求作相贯线的正面投影和水平投影。根据辅助平面的选择原则，在此选择水平面为辅助平面，具体作图步骤如下。

（1）求特殊点：由侧面投影可知，Ⅰ、Ⅱ、Ⅴ、Ⅵ分别是相贯线上的最高、最低和最前、最后点。由1″、2″可直接求出1′、2′和1、2；点Ⅴ、Ⅵ的投影，可利用辅助平面法求出，过5″、6″作水平辅助平面Q，平面Q与圆柱面相交于最前、最后两条素线，与圆锥面相交于一水平纬圆，它们的水平投影的交点，就是5、6，再根据5、6在PV上求出5′、（6′）。

图3-14圆柱与半圆球相交

（2）求一般点:在侧面投影的适当位置作辅助水平面P，平面P与圆柱面相交于两条素线，与圆锥相交于一水平纬圆，它们的水平投影的交点就是Ⅲ、Ⅳ点的水平投影3、4，再根据3、4在PV上求出3′、（4′）。

（3）判别可见性，并光滑连接各点。在俯视图中，位于圆柱上半部的相贯线可见，位于圆柱下半部的相贯线不可见，故6、4、1、3、5可见，连成实线，5、（2）、6连成虚线，可见与不可见的分界点为5、6点。相贯线前后对称，因此相贯线的正面投影前后重合，用实线画出。

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3.2.3立体表面交线的分析

3.2.3.1相贯线的特殊情况

（1）两同轴回转面的相贯线是垂直于轴线的圆。当它们的轴线平行于某投影面时，相贯线在该投影面上的投影积聚为垂直于轴线的直线段，如图3-15所示。

（2）轴线相交的两回转面公切于一个球面时,其相贯线是平面曲线——椭圆。若两回转面的轴线都平行于某投影面，则相贯线在该投影面上的投影积聚为两相交的直线段，如表3-3所示。

图3-15两同轴回转面的相贯线

                    表3-3公切于圆球时，圆柱与圆柱以及圆柱与圆锥的相贯线

3.2.3.2影响相贯线形状的因素

   影响相贯线形状的因素有：两相贯体表面的几何性质，两相贯体的相对尺寸大小和相对位置的变化情况。

   （1）表3-4表示圆柱与圆柱、圆柱与圆锥轴线正交时，当其中一相贯体尺寸发生改变时，相贯线形状的变化趋势。

（2）表3-5表示圆柱与圆柱、圆柱与圆锥相交时，若它们的直径保持不变，而使它们的相对位置发生改变，比如正交、斜交和交叉三种情况下，相贯线形状的变化情况。

    表3-4轴线正交时表面性质相同而尺寸相对变化对相贯线的影响

表3-5相对位置变化对相贯线形状的影响

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3.2.4综合相交举例

    机件往往都是由多个基本体构成的组合体,它们相交时产生的表面交线可能是相贯线,也可能是截交线，形成综合相交。画组合体的投影时，必先进行形体分析，找出存在截交和相贯关系的表面，应用截交线和相贯线的基本作图方法，逐一作出各条交线的投影。

例3.7  完成图3-16（a）所示组合体的正面投影和水平投影。

解  分析：该组合体由两个同轴圆柱Ⅰ、Ⅱ和其左边的圆柱Ⅲ组合而成。圆柱Ⅰ与圆柱Ⅲ、圆柱Ⅱ与圆柱Ⅲ均为轴线垂直相交，且前者为两直径相等的圆柱相交，属于特殊相贯的情况，故需分别求作相贯线；圆柱Ⅱ的顶面A截割圆柱Ⅲ，还必须求作截交线。

作图步骤：

图3-16组合体的表面交线（一）

（1）求作圆柱Ⅰ和圆柱Ⅲ表面的相贯线上的点，可以利用积聚性直接作图。由侧面投影中的点1″、2″、3″、4″、5″和水平投影中的点1、2、3、4、5，便可求出其正面投影1′、2′、（3′）、4′、(5′)。

（2）求作圆柱Ⅱ和圆柱Ⅲ两表面相贯线上的点，同样可利用积聚性先直接找到点Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ的侧面投影6″、7″、8″和水平投影（6）、（7）、（8）后，再求其正面投影6′、（7′）、8′。

（3）求作圆柱Ⅱ顶面A与圆柱Ⅲ相交的截交线。平面A与圆柱Ⅲ的轴线平行，其交线是平行于轴线的两直线段，即侧垂线ⅥⅣ和ⅦⅤ。

（4）判别可见性，分段依次连线。由于相贯线前后对称，在正面投影上相贯线前后两部分重合，均画成粗实线，且直径相等的两圆柱的相贯线的投影为直线段。A面截圆柱Ⅲ的截交线的水平投影不可见，应画成虚线，如图3-16(b)所示。

例3.8 完成图3-17所示组合体的主、左两视图。

图3-17组合体的表面交线（二）

解  分析:该组合体由两个具有同心孔的圆柱A和B及半球C组合而成，其中A、B轴线垂直相交,且都通过球心。组合体外表面之间的交线包括：圆柱面B与A相交产生的空间曲线、圆柱面B与半球C相交产生的半圆和圆柱面B与半球C的左端面D相交产生的两直线段，其中圆柱B与半球C属于同轴回转体相交，相贯线为半圆。下面分析组合体内表面产生的交线，竖直圆孔与水平圆孔轴线垂直相交，且它们的直径相同，相贯线为两个半椭圆；竖直圆柱孔的下部又与外表面A、C及C的左端面D都相交，这些交线与圆柱面B产生的交线类似。由于圆柱B的水平投影具有积聚性，圆柱A的侧面投影具有积聚性，因此该组合体交线的各面投影可利用积聚性求出，如图3-17（b）所示。

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