机械制图电子教程-2、正投影基础（图文教程）

§2-1 投影的基本知识

一、投影的概念

    投影——空间物体在光线的照射下，在地上或墙上产生的影子，这种现象叫做投影。

    投影法——在投影面上作出物体投影的方法称为投影法

二、投影法的种类

1.中心投影法：

    特性：投影大小与物体和投影面之间距离有关。

2.平行投影法

1）正投影法：（主要学习此种投影方法）

    特性：投影大小与物体和投影面之间距离无关

2）斜投影法：投影线倾斜于投影面。

三、正投影法的主要特性

1.点的投影：

    点的投影仍是一点。

2.直线的投影

    直线的投影一般情况下仍为直线，在特殊情况下积聚为一点。

1）直线平行于投影面

    在该面上的投影ab反映空间直线AB的真实长度。即：ab=AB

2）直线垂直于投影面

    在该面上的投影有积聚性，其投影为一点。

3）直线倾斜于投影面

    在该面上的投影长度变短，即：ef=Efcosα

3.平面的投影

    平面的投影一般仍是相类似的平面图形，在特殊情况下积聚为直线。

1）平面平行于投影面

    投影△abc反映空间平面△ABC的真实形状。

2）平面垂直于投影面

    在投影面上的投影积聚为直线。

3）平面倾斜于投影面

    投影△klm面积变小。

四、物体的三面投影图

1.三面投影图的形成

    三投影面体系由三个相互垂直的投影面所组成。

2.物体在三投影面体系中的投影

    正面投影—由前向后投影；

    水平面投影—由上向下投影；

    侧面投影—由左向右投影。

3.三投影面的展开

    规定：正面V保持不动。水平面H绕OX轴向下旋90ο，侧面W绕OZ轴向右旋转90ο。

§2-2 点的投影

一、点在两投影面体系中的投影

过A作垂直于V、H面的投射线Aa′、Aa，分别与H面交于a，与V面交于a′，a、a′即为点A的两面投影。

点的两面投影规律：

（1）点的两投影连线垂直于投影轴，即aa'⊥ox；

（2）点的投影到投影轴的距离，等于该点到相邻投影面的距离，即：a'ax=Aa ：aax=Aa'

二、点在三投影面体系中的投影

    规定：空间点A用大写字母表示，在H面的投影a，在V面的投影用a'，在W面的投影用a"表示。

点的三面投影规律：

（1）点的投影连线垂直于投影轴。即：a'a⊥ox，a'a"⊥oz

（2）点的投影到投影轴的距离，等于该点的坐标，也就是该点到相应投影面的距离。

三、点的三面投影与直角坐标的关系：

    将投影面体系当作空间直角坐标系，把V、H、W当作坐标面，投影轴ox、oy、oz当作坐标轴，o作为原点。点A的空间位置可以用直角坐标（x，y，z）来表示。

点A的x坐标值=oax =aay=a'az=Aa" 反映点A到W面的距离。

点A的Y坐标值=oay=aax=a"az=Aa' 反映点A 到V面的距离。

点A的Z坐标值=oaz=a'ax=a"ay=Aa 反映点A到H面的距离。

a由点A的x、y值确定，a'由点A 的x、z确定，a"由点A的y、z值确定。

例1：已知点的坐标值为：A（20，10，15）和B（0，15，20）求它们的三面投影图。

例2：已知各点的两面投影，求作其第三投影，并判断点对投影面的相对位置。

四、两点的相对位置和重影点：

1.两点的相对位置

要在投影图上判断空间两点的相对位置，应根据两点的各个同面投影关系和坐标差来确定。

例：由投影图判断A、B两点的空间位置。

（1）由A、B两点V、H面投影可确定点A在点B左方。

（2）由A、B的H、W面投影可确定点A在点B前方。

（3）由A、B的V、W面投影可确定点A在点B下方。

2.重影点

重影点——空间两点的同面投影重合于一点叫做重影点。

如图：C、D两点的水平投影重影为一点。又因点C在点D的正方，C点可见，D点被遮盖。结论：如果两个点的某面投影重合时，则对该投影面的投影坐标值大者为可见，小者为不可见。作图时不可见点加括号。

§2-3 直线的投影

一、直线的投影：

    直线的投影一般为直线，可由直线上两点的同面投影连线确定。

例：已知直线AB端点坐标为A（20，15，5），B（5，5，15）作AB的三面投影。

二、各种位置直线的投影特性

1.一般位置直线

    如图示：直线的三面投影长度均小于实长，三面投影均倾斜于投影轴，但不反映空间直线对投影面倾角的大小。

2.投影面平行线

1）水平线：平行于H面，对V、W面倾斜。

2）正平线：平行于V，对H、W倾斜

3）侧平线：平行于W面，对V、H面倾斜。

3.投影面垂直线

1）铅垂线：直线垂直H面，平行V、W面。

2）正垂线：直线垂直V面，平行H、W面。

3）侧垂线：直线垂直W面，平行H、V面。

三、直线上的点

1.直线上的点：

    点在直线上，点的各面投影必定在该直线的同面投影上；反之，点的各面投影均在直线的同面投影上，则该点必在此直线上。

2.点分割线段成定比

    直线上的点分割直线之比，在投影后保持不变。

即：AK: KB=ak: kb=a'k': k'b'=a"k": k"b"

例1：试在直线AB上取一点C，使AC:CB=1:2，求作C点。

例2：已知直线CD及点M的两面投影，判断M是否在CD上。（侧平线）

２种解法（三面投影法及利用等比性法）

四、两直线相对位置

    空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉

1.平行两直线：

    投影特性：空间两直线相互平行，它们的各组同面投影必定相互平行。反之，若两直线的各同面投影相互平行，则两直线在空间一定平行。

2.相交两直线

交点Ｋ必是两直线的共有点且交点Ｋ的三面投影必然符合点的投影规律。

3.交叉两直线

    在空间即不平行也不相交的两直线为交叉两直线。

    交叉两直线的同面投影可能相交，但不符合空间点的投影规律。

    交叉两直线投影的交点并不是空间两直线真正的交点，而是两直线上相应点投影的重影点。

    对重影点应区分其可见性，即根据重影点对同一投影面的坐标值大小来判断。坐标值大者为可见点，小者为不可见点。

§2-4 平面的投影

一、平面的表示法

    用几何元素表示平面

    不在同一直 一直线和 相交两直线 平行两直线 任意平面形

线上的三点 线外一点

二、各种位置平面的投影

1.投影面垂直面

    垂直于某一个投影面，而倾斜于其余两个投影面的平面为投影面垂直面。

    垂直的投影面上投影有积聚性其余两投影面的投影为类似形

    投影面垂直面的投影特性：

(1）平面在所垂直的投影面上的投影积聚为直线；

(2）其余两投影面的投影为原形的类似形，但比实形小；

(3）平面具有积聚性的投影与投影轴的夹角，分别反映平面与相应投影面的倾角。

2.投影面平行面

平行于某一个投影面的平面称为投影面平行面，该平面必然垂直于其余两个投影面。

在所平行的投影面上的投影反映实形。

其余两投影积聚为直线，并平行于相应的投影轴。

投影面平行面的投影特性：

(1)平面在所平行的投影面上的投影反映实形；

(2) 其余两投影积聚为直线，并分别平行于相应的投影轴。

3.一般位置平面

对三个投影面都倾斜的平面。它的各面投影均不反映实形，也不具有积聚性。不直接反映该平面与投影面的倾角。

三、平面上的点和直线

1.平面上的点和直线

    定理一：若直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。

    定理二：若一直线过平面内的一点，且平行于该平面上另一直线，则此直线在该平面内。

    定理三：若点在平面内，它必在平面内的一条直线上。

2.平面上的投影面平行线

    凡在平面上且平行于某一投影面的直线，称为平面上的投影面平行线。

    平面内的水平线——直线在平面内，又平行于水平面的直线。

    平面内的正平线——直线在平面内，又平行于正面的直线。

    平面内的侧平线——直线在平面内，又平行于侧面的直线。

四、特殊位置圆的投影

1.与投影面平行的圆

    当圆平行于某一投影面时，圆在该投影面上的投影仍为圆，其余两投影积聚为直线，其长度等于圆的直径，且平行于相应的投影轴。

2.与投影面垂直的圆

    当圆与投影面垂直时，圆在它所垂直的投影面上的投影积聚为直线，其余两投影为椭圆。

§2-5 直线与平面、平面与平面之间的相对位置

一、平行问题

1.直线与平面平行

    定理：直线平行于平面上的某一条直线。即：如果直线平行于平面，则直线的各面投 影必与平面上一直线的同面投影平行。

2.平面与平面平行

    几何条件：

1）若一个平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则两平面相互平行。

2）若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。

二、相交问题

1.一般位置直线与特殊位置平面相交

（1）求直线与平面的交点；

（2）判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

注：这里只讨论平面与直线中至少有一个处于特殊位置的情况。

2.特殊位置直线（垂直线）与一般位置平面相交

3.一般位置平面与特殊位置平面相交

    两平面相交，其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点是两平面的共有点。

讨论：A.求两平面的交线（方法）

1）确定两平面的两个共有点；

2）确定一个共有点及交线的方向。

B.判别可见性。

三、垂直问题

1.直线与平面垂直

    定理：如果一直线垂直于某一平面内的两相交直 线，则直线必垂直于该平面。

    例：过已知点D 作平面△ABC的垂线。

分析：为了使过点D所作的直线垂直于△ABC，可在平面内作一水平线和正平线，然后过点D作直线垂直于平面内的水平线和正平线。过点A作AⅠ∥H面，即过a'作a'1'∥OX轴，并求出水平投影a1；过C作CⅡ∥V面，即过c作c2∥OX轴，并求出c'2'。过D作DK垂直于AⅠ、CⅡ，即作dk⊥a1，d'k'⊥c'2'

投影特性：如果一直线垂直于某一平面，则该直线的水平投影必定垂直于该平面内水平线的水平投影；直线的正面投影必定垂直于该平面内的正平线的正面投影。

2.两平面垂直

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么该两个平面垂直；反之，如果两平面垂直，那么经过第一个平面内一点作垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内。

例：过已知点D作一平面垂直于已知平面△ABC。

分析：过已知点D作直线DK垂直于平面△ABC，然后包含直线DK作平面（可作无穷多个），图中任取一点E，则平面DEK垂直于△ABC。

§2-6 三面投影与三视图

一、体的投影—视图

    体的投影实质上是构成该体的所有表面的投影总和。

二、三面投影与三视图

体在三投影面体系中投影所得图形，称为三视图。

正面投影为主视图

水平面投影为俯视图

侧面投影为左视图

三视图对应关系为：

主、俯视图长相等（简称长对正）

主、左视图高相等（简称高平齐）

俯、左视图宽相等且前后对应 (宽相等）

    三视图之间方位对应关系

    主视图反映物体的上、下、左、右

    俯视图反映物体的前、后、左、右

    左视图反映物体的上、下、前、后

§2-7 平面体的投影

一、 常见的平面几何体

    它们的表面都是由平面形围成的，因此，绘制平面立体的三视图，实质是画出组成平面立体各表面的平面形及交线的投影。

二、棱柱体的投影

1.作图：

作图时先画反映底面实形的那个投影，然后再画其它两面投影。

2.平面立体表面上的点：

平面立体表面上的点与平面上取点的方法相同，要判别投影的可见性。

三、棱锥体的投影

表面上的点采用辅助线的方法作图。

§2-8 回转体的投影

一、常见的回转体

    回转体——一动线绕一定直线旋转而成的曲面，称为回转面。由回转面或回转面与平面所围成的立体称为回转体。

二、圆柱体的投影

    水平投影为一圆，反映顶、底圆的实形，圆柱面上所有素线都积聚在该圆周上。

圆柱体表面上的点：

    已知：正面投影上的n'、m'的投影，求其它两面的投影。

    分析：m'为可见，在前半圆柱面上，n' 为不可见，在后半圆柱面上。其水平投影积聚在圆周上，先求出m、n，再求m"、n"。

三、圆锥体的投影

    圆锥体是由圆锥面和底面所围成的立体。圆锥面是一直母线绕与它相交的回转轴旋转而成的。

    圆锥体表面上的点

例：已知圆锥体表面上一点K的正面投影k'，求另两个投影。

解1、辅助素线法：过锥顶S和已知点K作直线S1，连s'k'与底边交于1'，然后求出该素线的H面和W面投影s1和s" 1 "，最后由k'求出k和k"。

解2、辅助圆法：过已知点K作纬圆，该圆垂直于轴线，过k' 作纬圆的正面投1'2'，然后作出水平投影k在此圆周上，由k' 求出k，最后求出k"。

四、球体的投影

    球是圆母线绕其直径回转轴旋转而成的。球的三面投影均为圆，且与球的直径相等。

例：已知A、B两点在球面上，并知a和b‘的投影，求A、B两点的另两个投影。

作图：过a作直线∥OX得水平投影12，正面投影为直径为12的圆，a'必在此圆周上。因a可见，位于上半球，求得a'，由a、a' 求出a"，因a 在右半球，所以a"不可见。

因为b'处于正面投影外形轮廓线上，可由b'直接求得b、b"。