展开图的原理与展开图的画法（图文教程）

第一节 展开原理

1.展开放样的基本思路
1) 什么是展开放样
    所谓展开，实际是把一个封闭的空间曲面沿一条特定的线切开后铺平成一个同样封闭的平面图形。它的逆过程，即把平面图形作成空间曲面，通常叫成形过程。实际生产工作中，往往是先设计空间曲面后再制作该曲面，而这个曲面的制造材料大都是平面板料。因此，用平板做曲面，先要求得相应的平面图形，即根据曲面的设计参数把平面坯料的图样画出来。这一工艺过程就叫展开放样。实际工作中，有人把它简称为展开，也有人把它简称为放样，本书中采用前者的说法。
2) 展开的基本思路----换面逼近

图2-1-0 换面逼近示意图

   如图2-1-0，我们按预先设定的经纬网络把曲面网格化，并在曲面上任取其一个四角面元abcd（A、B、C、D为其四个顶点，a、b、c、d为其四条边界弧线）。连接它的四个顶点A、B、C、D和对角点B、C，将得到一个与四角面元abcd对应的四边形ABCD以及组成四边形ABCD的两个平面三角形△ABC和△BCD。为了简化我们的研究，我们以三角形△ABC和△BCD代替对应的四角面元abcd，其中直线段AB、AC、CD、DB与a、b、c、d四条弧线分别对应。对所有的网格都做同样的替代处理，我们就可以得到一个与曲面贴近的，由众多三角平面元构成的多棱面。多棱面与原曲面当然会存在差别，但是，只要网格数目足够多，他们的误差可以足够小，小到我们允许的公差范围内。
    把曲面换成与之相近、由小平面组成的多棱面，再用多棱面的展开图去近似替代该曲面的理论展开图，这就是换面逼近的基本思路。多棱面的展开是容易的，只要在同一平面上把这些小平面元按相邻位置和共用边逐个画出来就得到了多棱面的展开图。需要指出的是，如何网格化是个中关键，这一部分将在讲展开方法时详细介绍。
   以上讲的是三角平面元替换，其实我们也可以采用其他形状的小平面来换面逼近。如梯形、六边形等等。更进一步，我们还可以用简单曲面，如圆柱面、正锥面等来作类似的替换。实践证明，这样的替换逼近效果更好，既简化了手续，又保证了精度。以下图例，可资说明。

2.换面逼近的几个例子
   第一个例子是共顶点三角形替换。
   请看图2-1-1。换面逼近的大致步骤如下:

图2-2-1  共顶点三角形替换

   首先分割：将圆锥底圆分外分为12等分，等分点为A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L；然后以过锥顶0与各分点的素线为界线将此圆锥面分为12个共一顶点的三角锥面元；其次换面：用平面三角形△0AB、△0BC、△0CD、…△0KL、△0LA替代对应的三角锥面元；就总体而言，这种替换，也可以理解为用一个12棱锥的外表面来代替圆锥面；然后展开：在同一平面上把这些三角形按照共用边和共用顶点逐个画出来，这样就得到了12个共同一顶点并呈放射状分布的三角形组成的平面图形；我们用这个平面图形模拟、逼近圆锥的理想展开曲面。当然，这只是一个近似展开图形，但是他们之间的误差是可以控制的，例如我们只要增加底圆的等分点数N，其替代误差随着N的增加而减小，以至小到允许的公差范围以内。
    以上即所谓共顶点三角形换面逼近。就工艺而言，这是一个可行的方法；从精度来看，关键是N的确定，实际中，N根据误差大小、布点方式、加工工艺和材料性质等因素通过实践选择。在各种锥面的展开中，我们都采用这种换面逼近的思路，久而久之，便形成了一个成熟的展开方法。由于它的展开图线由以顶点为中心呈放射状布置，我们通常把它叫做放射线展开法。

   第二个例子是梯形替换。这是一个用梯形面元替换对应曲面元的例子

图2-1-2  梯形替换

   如图2-1-2 所示，本图系斜口圆柱面展开时进行换面逼近的示意图。象圆锥面展开的思路一样，用以取得圆柱微面元的方式仍然是素线分割，但此时的素线已不再相交而是相互平行了。由此得到的微面元是四角曲面，对应的平面图形是梯形。如图所示，我们是用梯形AA′BB′去替换四角微面元AA′BB′，逐个替换以后，整个斜口圆柱面的展开将用其内接12边形为底面的12棱柱面的展开去近似它。
   以上即所谓梯形换面逼近。从这个思路出发，在展开放样中已形成了成熟的平行线展开法。

   第三个例子是三角形替换，请看图图2-1-3。

图2-1-3  三角形替换

   图中斜口大小头上下口均为圆，但直径不同；上口圆中心在下口圆面的投影与下口圆中心同心；此外上下口所在平面之间有15°夹角。需要展开的是以上、下口圆为边界的周边蒙面。
   本例是这样换面和逼近的：
   首先，将上下口圆分别以对称中面为基准各自等分为12等分，然后一上一下,依次连接各等分点，由此得到24条直线，即图中aA、Ab、bB、Bc、cC、Cd、dD…La、aA；
    之后分别用每条直线和下口圆心确定的平面分割蒙面，得到24个三角曲面元；同时也得到与之对应的24个平面三角形，即图中△aAb、△AbB、△bBc、△BcC…△lLa、△LaA；其中12个三角形都有一条边长度为上口圆周长的1/12，而另外12个三角形都有一条边长度为下口圆周长的1/12；
   为了简化蒙面的展开，我们再将这24个三角形逐个替换对应的三角曲面元，换言之，我们用一个多棱面来近似大小头蒙面的展开。这样替换的结果无疑存在误差,但它的误差是可以控制的,例如增大等分点的数目就是减小误差的途径，不管你给出的公差多小，总可以设法使误差不超过你的公差范围。
   最后展开。选定一个切开线，如图中Aa，并以之作为起始线在同一平面内逐个画出△aAb、△bAB、△Bbc、△cBC…△lLa、△Ala。这24个三角形共同组成了正确的近似展开图形。
   以上即所谓三角形换面逼近。从这个思路出发，在展开放样中已形成了成熟的三角形展开法。

   第四个例子是曲面替换。（如图2-1-4）
   所谓曲面替换是在换面逼近时，直接用已知的、易展开曲面（如圆柱面、正圆锥面）的曲面元去替代复杂曲面的对应曲面元，以取得更好的逼近效果，从而使复杂曲面的展开工作更简便,更快捷。

图2-1-4 曲面替换

   本图以24条经线与24纬线分划球面，得到的曲面元是由相邻的两条经线和相邻的两条纬线所围成球面元。对这些曲面元，我们分别进行平面元(梯形面元+三角面元)替换、柱面元替换和锥面元替换。
   图中虚线线部分，采用椭圆柱面元替换。即以一个经线处为原来弧线，纬线处由同一纬线两端点所连直线，长半径为球半径的椭圆柱面元去替代球面元；图中粗线部分采用了平面替换，即用球面元四个顶点连线组成的梯形替代了球面元，它的四边都是直线；图中细线部分则采用了锥面替换，即以一个上下纬线为上下圆的圆锥台面去替代球面元，这个锥面元的四边，上下仍为弧线，对应的经线处则已变成了直线；略作比较，不难发现锥面替换、椭圆柱面替换比梯形替换逼近程度高。对于前述的共点三角形替换和梯形替换，我们实际展开中不采用底圆等分点间的弦长而是采用弧长，就是贯彻曲面替换思想的结果。
   上述各种换面逼近在整个换面逼近过程中除替换面不同以外，其他情况类似，大同小异，兹不赘述。需要强调的是：实际展开中，对同一曲面的替换面元不必采用同一类型，而是根据曲面的结构特点和简捷方便的展开原则灵活地混用各种替换面元。

3. 展开放样的一般过程
    设计图是展开放样的依据，其表示方式是视图。众所周知，视图上小面元的形状及其组成线段是实物形状、实际组成线段在该视图上的投影，它们的长度不一定反映实际长度。而画展开图必须是1：1的实际长度，因此，怎样通过各视图上线段的投影去求得线段的实长是展开放样至关重要的第一步。
  求实长常用的方法，一是选择与实际线段平行、投影反映实长的投影面（先看基本视图，后选向视图），在该面视图上对应量取；二是通过相互关联的几个视图上对应投影之间的函数关系去设法求得。二者可以通过几何作图，也可以通过计算求得。
   第二步，画展开图。展开的重点是画展开曲线，即展开图样的边线。展开曲线是一般平面曲线，要画这种曲线，通常先在图纸上求出曲线上一定数量的、足以反映其整体形状的点；之后再圆滑连接各点，得出所求曲线“近似版”。此版尽管是近似的，却可以设法达到事先要求的准确度，因为曲线的准确性跟点的数量有关，越多越准。展开时，为了作图的方便，点的布置通常采用等分的办法；在曲线变化急剧的区域，适当插入一些更细的分点，以求得事半功倍的效果。

第二节  展开放样的基本要求与方法

1.展开三原则 
   展开三原则是展开时必须遵循的基本要求。
   1) 准确精确原则：这里指的是展开方法正确，展开计算准确，求实长精确，展开图作图精确，样板制作精确。考虑到以后的排料套料、切割下料还可能存在误差，放样工序的精确度要求更高，一般误差≤0.25㎜。
    2) 工艺可行原则：放样必须熟悉工艺，工艺上必须通得过才行。也就是说，大样画得出来还要做的出来，而且要容易做，做起来方便，不能给后续制造添麻烦；中心线、弯曲线、组装线预留线等以后工序所需的都要在样板上标明。
    3) 经济实用原则：对一个具体的生产单位而言，理论上正确的并不一定是可操作的，先进的并不一定是可行的，最终的方案一定要根据现有的技术要求、工艺因素、设备条件、外协能力、生产成本、工时工期、人员素质、经费限制等等情况综合考虑，具体问题具体分析，努力找到经济可行，简便快捷、切合实际的经济实用方案，绝不能超现实，脱离现有工艺系统的制造能力。

2.展开三处理
   展开三处理是实际放样前的技术处理，它根据实际情况，通过作图、分析、计算来确定展开时的关键参数，用以保证制造精度。
   1) 板厚处理
   上面所说的空间曲面是纯数学概念的，没有厚度，但实际中的这种面只存在于有三度尺寸的板面上。是板料就会有厚度，只不过是厚度有厚有薄而已。板料成形加工时，板材的厚度对放样有没有影响？答案是肯定的，不可能没有影响；板材的厚度越大，影响越大，而且随着加工工艺的不同，影响也不同。下面先看两个例子。
   ⑴ 我们把L×b×δ的一块钢条弯曲成曲率为R的圆弧条时，发现上面(弧内侧)的长度变短了，下面（弧外侧）的长度变长了。根据连续原理，其中间一定存在一个既不伸长也不缩短的层面。这个层面我们叫它中性层。那么，这个中性层的位置在哪里呢？实践证明，中性层的位置跟加工的工艺和弯曲的程度有关。如采用一般的弯曲工艺，当R＞8δ时，中性层的位置在板料的中间。这一客观事实给我们的启示是：如果设计了这样一个圆弧条要我们加工，加工前的展开料长应该按中径上的对应弧段计算。显然，该圆弧条的展开长度是L。如此类推，倘要用厚度为δ钢板卷制一个圆筒，其展开长度应按中径计算，即L=πφ。
   这是一个很重要的结论，因为按中径展开，更准确一点，按中性层展开就是我们钣厚处理的基本原则。

   请注意，图2-2-1中没有给出尺寸数值的单位。未标单位不是没有单位，而是采用默认单位。机械制造行业默认的单位是毫米。图中长度314没有标明单位，按默认值，其单位就是毫米。以后均应如此，恕不重述。
   设计图上往往给出的是外径（φw）或者是内径（φn），展开时要换算出中径（φ）。它们之间的关系是：φ=φw－δ=φn＋δ
   中性层位置，可用下列经验公式计算。
   R0＝R＋X0δ         式中X0按下表取值：

表2-1  中性层位移系数经验值
（表中，中性层距里边的距离为X0δ，板厚为δ，X0=中性层位移系数）

    ⑴ 再看图2-2-2，我们来讨论厚度对弯头装配间隙、角度和弯曲半径的影响。
    已知：直径φ    管口角度α    管壁厚度δ    弯曲半径 R

图2-2-2  厚度对弯头装配的影响

   一般板料切割时切口垂直于板面。由于厚度的存在，成形后板的内外表面端线不在同一平面，直接影响按端头装配时的接口间隙、角度和弯曲半径。图中，内半圈管外皮相接、外半圈管里皮相接。此时中间形成空隙，其大小H=2δsin（α/2）。同时由于中径处存在偏离，不能直接在立面图中原定位置相接，造成弯曲半径增大。
   为了避免或减少板厚对弯头装配的影响，在弯头展开时，应先作接口的位置和坡口设计，然后再据此展开放样。图2-2-2a中的做法，就是按内半圈外皮相接、外半圈里皮相接，分别调整内、外半圈的半节角度来保证尺寸、形状、位置方面的精度要求。这种处理办法叫角度调整法。而图2-2-2b中的做法是以中径斜面为准（斜角为α/2），内外倒坡口来形成正确的接口形状的（一般应用于厚板），这种处理办法叫坡口调整法；至于图2-2-2c中的做法则是以中径斜面为准（斜角为α/2），将内半圈外皮处、外半圈板里皮处用锤子锤平或用切割器修平来达到目的的（一般应用于2～6mm薄板），这种处理办法叫管口修平法。

图2-2-2a 角度调整法

图2-2-2b 坡口调整法

图2-2-2c 管口修平法

    2) 接口处理
    ⑴ 接缝位置
    单体接缝位置安排或者是组合件接口的处理看起来无足轻重，实际上是很有讲究的。放样时通常要考虑的因素有：
     ① 要便于加工组装；
     ② 要避免应力集中；
     ③ 要便于维修；
     ④ 要保证强度，提高刚度；
     ⑤ 要使应力分布对称，减少焊接变形等。
    一般设计图不给出接缝位置。放样实践中，全靠放样工根据上述原则灵活处理。由这点区区小事，可以看出，光懂点几何作图，不懂工艺，不懂规范，不具备一定的机械基础知识，不经过必须的放样训练，是不可能真正做好这项工作的。
    ⑵ 管口位置
    管口位置和接头方式一般由设计决定。针对这些要求，展开时要具体分析并进行相应的处理。一般的原则是，一要遵循设计要求和有关规范，既要满足设计要求，也要考虑是否合理；二要考虑采用的工艺和工序，分辨哪些线是展开时画的还是成形后画的；三要结合现场，综合处理，分辨哪些线是展开时画的还是现场安装时再画的。
    ⑶ 连接方式
    是对接还是搭接？是平接还是角接？是接于外表面还是插入内部？是焊接还是铆接？是普通接口还是加强接头？这些都是必须了解清楚的，因为连接方式不同，展开时的处理就不同。一旦遇上了对钣金工艺不很专业的设计人员所设计的接头和连接方式，展开时的处理就更显得重要了，因为对一个好的冷作钣金工，他不但要会按图施工，而且一旦遇上按图不宜甚至不能施工时，要拿得出切实可行的修改方案来。
    ⑷ 坡口方式
    为了焊透，厚板焊接需要开坡口。坡口的方式主要跟板厚和焊缝位置有关。设计蓝图即便规定了坡口的形状样式，放样时还是应该画出1：1的接口详图，以便验证设计的接头方式是否合理,或者是设计没有指明时决定合理的接头方式。
2) 余量处理
    余量处理俗称“加边”，就是在放出的展开图某些边沿加宽一定的“多余”边量。这些必要的余量因预留的目的不同而有不同的称呼，如搭接余量、翻边余量、包边余量、咬口余量、加工余量等等。
    余量处理的问题在“量”上，到底余多少？留大了增加加工工作量，留少了下道工序没办法加工。留是常识，留得合适是水平。这个量，有时图纸上有标注，更多的时候要放样者自己把握。如何把握？在实际工作中并不一定是一个计算问题，有时更多是一个实践问题，需要去“试”，试出一个结果来，往往更靠得住。
    举一个例子。咬口是薄板常用的连接方式，且如今咬口大多用辘骨机成形。咬口余量怎么取？它跟机器的性能、调整的状况、板料的长短、操作的方法等，都有关系。因此，余量数据的取得，应该先粗算下料，上机成形，然后测量比较、修正定尺。

3. 展开三方法
1) 几何法展开
    几何法展开，准确一点，应叫几何作图法展开。展开过程中，求实长和画展开图都是用几何作图的方式来完成的。几何法展开又可细分为许多实用方法，常用的有三种：
    ⑴ 放射线法。这种方法在换面逼近时使用的面元是三角形，但这些三角形共一顶点，常用在锥面的展开中。放射线法的一般步骤是：
    ① 针对某曲面的结构，依照一定的规则，将该曲面划分为N个共一顶点、彼此相连的三角形微面元；
    ② 对每个三角形微面元，都用其三顶点组成的平面三角形逐个替代，即用N个三角形替代整个曲面，其替代误差随着N的增加而减小；
    ③ 在同一平面上按同样的结构和连接规则组合画出这些呈放射状分布的三角形组，从而得到模拟曲面的近似展开图形；
    ④ N根据误差大小、加工工艺和材料性质等因素通过实践选择；
    ⑵ 平行线法。这种方法在换面逼近时使用的面元是梯形，常用在柱面的展开中。平行线法的一般步骤是：
    ① 针对某曲面的结构，依照一定的规则，将该曲面划分为N个彼此相连的梯形微面元；
    ② 对每个梯形微面元，都用其四顶点组成的平面梯形逐个替代，即用N个梯形替代整个曲面，其替代误差随着N的增加而减小；
    ③ 在同一平面上按同样的结构和连接规则组合画出这些梯形，于是得到模拟曲面的近似展开图形；
    ④ N根据误差大小、加工工艺和材料性质等因素通过实践选择；
    ⑶ 三角形法。这种方法在换面逼近时使用的面元是三角形，可用于柱面、锥面等各种曲面的展开，应用广，准确度高；放射线法、平行线法适用的，三角形法，只是作图手续多一些，工作量相对大一些。三角形法的一般步骤是：
    ① 针对某曲面的结构，依照一定的规则，将该曲面划分为N个彼此相连的三角微面元；
    ② 对每个三角微面元，都用其三顶点组成的平面三角形予以替代，即用N个三角形替代整个曲面，其替代误差随着N的增加而减小；  
    ③ 在同一平面上按同样的结构和连接规则组合画出这些三角形，于是得到曲面的近似展开图形；
    ④ N根据误差大小、加工工艺和材料性质等因素通过实践选择；
    关于这些方法，我们将通过以后的实例来促进大家的了解。
    1) 计算法展开
    计算法展开，顾名思义，要通过计算。其实在展开过程中，它只是用计算的方法求实长，画展开图还是用几何作图。怎么计算？如何弄清楚展开曲线两坐标变量之间的函数关系？一般钣金制品的曲面是由基本曲面组成的,而基本曲面在立体解析几何中都确切地给出了解析式。由这些联立方程组可以求出空间相贯线的联立方程组，进而求得选定面上的相贯线方程和实长方程，于是展开曲线上预设各点的坐标就能一一计算出来。这种通过解析方程来进行展开计算的方法也叫解析法展开。它当然归属于计算法，限于篇幅，此处就不多讲了。
    展开实践中还有一种表格法，亦称查表法，即按项目、参数事先计算好数据，列成表格，使用时查表取数求得实长，再去画展开图。这种方法不过是计算法的演化，无须分列。
    2) 计算机辅助展开
    计算机在钣金设计制造中的应用之一即是计算机辅助展开和计算机辅助切割，在数控切割机上，二者甚至可以同时完成。计算机辅助展开的应用软件不少，多以薄钣件设计为主，兼有展开功能；方法上则分参数建模和特征造型两大类；应用中各有特色，尤其是电子电气的薄壳箱体制作，精彩到美仑美奂的地步。
    对于大型纲结构、厚板制件，计算机辅助展开仍然走的是传统展开的路子，计算展开图中的各项数据，展开画图。其中，在电脑上用几何法展开，快捷精确，数据一点就来，效果很好。显然，在今后的钣金制造中，CAD、CAE、CAM、CAPP将大行于世，因为它们不仅是完美的助手，而且是创新的平台。
    但它仍在发展之中，也有不尽人意之处。如数控激光切割，切割头的角度还不能数控；切割头活动的范围有限；机位固定，不适于流动作业；它的价格不菲，尚未普及等等。
    正是上述原因，我们这次展开放样训练，选择的是比较直观的传统几何法模式。

4. 常用三样板
    1) 样板的应用与分类
    为了避免损伤钢板，我们一般不在钢板上直接放样，而是通过放样，制作样板，再靠准样板去钢板上画线。这样做的好处一是避免把展开放样时的诸多辅助线和中心点都划在或打在钢板上，造成钢板表面损伤；二是样板重复使用，在多件制作时的优越性更明显，而且借助样板我们可以在钢板上套料排图，能使材料得到充分利用。
    放样时一般要做三个样板。除了下料用的展开样板外，还有成形时检测弯曲程度的成形样板和组装时检测相对角度、相互位置的组装样板。这两种样板通常又叫作卡样板。
    2) 外包样板、内铺样板与平料样板
    样板因使用场合的不同而有不同的形式，常用的有外包样板、内置样板与平料样板。平料样板用得最多，此前我们提到的样板都是成形前的平料样板。但有时候我们需要在成形后的钣料上画线，这时就要用到外包样板或内铺样板了。管外画线，用外包样板；筒内画线，用内铺样板。如制作直径不很大等径焊接弯头，工艺上宜先卷制成管子，后切割成管段，再组焊弯头，这种情况下就要准备外包样板。而在大管大罐内画线开孔那就要用内铺样板。
    特别指出的是：平料样板号料，弯曲的是板料，板厚处理考虑的是板料厚度；外包样板和内铺样板号料，弯曲的是样板，板厚处理考虑的是样板的厚度。
    3) 样板的材料与制作
    制作样板的材料常用的有厚纸板、油毛毡和薄铁皮。这些材料各有其长，根据需要选用：厚纸板性价比小，适宜作小样板；油毛毡拼接方便，适宜画大的展开图，应用广泛，但不能多次使用；薄铁皮做的样板尽管价格偏高，但强度与刚度都好，精确耐用，便于保存，特别适于批量生产，更是作卡样板的首选材料。

第三节  几何法展开的三个基本方法与典型实例

一、 几何作图

1. 常用几何划线工具
    说起画线,大家没有不明白的.然而提到划线，能准确表述的人就不多了。此处所说的划线是专业术语，它也是一种画线，只不过用的工具和画的对象不同。划线是用高硬度划线工具，如划针、划规、中心冲，直接在材料上精确刻划和冲点，划出的线条很细。为了凸显它，往往还要沿线打上样冲眼；为清晰起见，必要时金属材料表面还应该专门涂色。显然，划针划线比铅笔画线要精确得多。展开放样和样板制作的材料一般采用薄钢板、厚纸板和油毛毡，在这些材料上精确作图，以划为主；当然，需要时也还是要用色笔画的，只要能保证精度要求，什么便当，就用什么画。以下介绍的，是钣金冷作工以划为主的常用划线工具。
  1) 15m盘尺、3m卷尺、1m长尺、300㎜钢尺、150㎜钢尺、150㎜宽座角尺、大三角板、吊坠
  2) 划规、分规、地规、划针、划针盘、石笔、粉线、墨斗
  3) 中心冲、手锤
  4) 展开平台

2. 常用几何画线
   对展开放样来说，以下常用的一些几何画线是必须掌握的。因时间关系，这里只提出基本要求，具体的画法就不多讲了。不清楚的地方，请自己复习《工程制图》中的相关内容。
    1) 长直线、大圆弧的画法
    2) 特殊角度、一般角度的画法
    3) 直线、圆弧、角度的等分
    4) 直线曲线的吻接
    5) 常见曲线的画法（正弦曲线、椭圆、四心圆、摆线、渐开线、阿基米德螺线）

二、大小头与放射线法

1.大小头的表面特性
  大小头上下口平行，是圆管变径时使用的连接件，有同心和偏心之分。同心大小头表面是正圆锥面，偏心大小头表面是斜圆锥面。立管变径时，连接件常采用同心大小头。水平管路变径，要求严格时用同心大小头就不合适了。这是因为介质为液体时水平管路需要排除内部产生的、妨碍运行的气体，因此连接处要求管道顶平，以利于排尽不需要的气体；相反，气管则需要排除积液，管路要求底平，以利于排尽不需要的液体。90°偏心大小头，它可以在水平敷设的管路变径时使管道顶平或者是底平，因而在水平管路变径中大显身手。
  前面说过，同心大小头是正圆锥面，偏心大小头是斜圆锥面，它们有什么共同点呢？我们不妨设想一下：水平面上有一个圆D（圆心为O），水平面外有一个点A，有一条直线L通过该点和圆上一点。现在让这条直线一端固定在A点不动，另一端沿着圆的轨迹向同一个方向转动一周，于是这条线在空间将划出了一个曲面，这个曲面就是锥面。如果固定点在通过圆心的铅垂线上，形成的锥面就是正圆锥面；如果固定点不在通过圆心的铅垂线上，则所形成的锥面是斜圆锥面。
  形成锥面的那条线叫母线，母线运动的轨迹圆叫基线，基线所在的水平面叫基面。母线在转动中通过的的每个位置都形成一条特定的直线，这些线，我们称之为素线。如果母线不通过固定点，而是保持与基面的某一轴向成一固定角度，也沿某一给定基线运动，那么划出来的曲面就是柱面。其中母线垂直于基面、基线为圆时的特别例子，就是我们非常之熟悉的正圆柱面。
    这种母线是直线而形成的曲面，就是所谓直纹面。直纹面由无数素线组成。锥面的素线相交，柱面的素线平行。就展开而言，这个认知很重要，前者引申出了展开的放射线法，后者引申出了展开的平行线法。
  直纹面的展开比较好处理，成形时大多是绕素线弯曲,因而制造起来比较容易。从方便制造、经济合理方面考虑，一般壳体设计，大都选择各种直纹面的组合。

2.同心大小头的展开
   同心大小头的展开其实在小学数学课本就已经讲过，只是现在印象淡漠了。用得太少，记不住是正常的。现在我们静下心来，仔细看看图2-3-0，慢慢回忆起它的展开过程。
    1) 已知条件：大头中径 φD=120；     小头中径 φX=60；      高 h=100；    大、小口平面互相平行，且小头圆心在大头平面的投影与大头圆心重合。
    2) 展开步骤：
    ⑴ 以水平面为大头基面，根据已知条件作立面图，即作HS⊥SA，其中HS=h， SA=φD /2；过H作HB∥SA，HB=φX/2；
    ⑵ 将锥台斜边AB延长与中轴线HS的延长线交于O；以O为圆心,以OA、OB为半径分别画弧；
    ⑶ 在OA弧上量取AD弧，使其弧长等于底圆周长（L=πφD）；
    ⑷ 连OD，交OB弧与C；则扇形ABCD为所求展开图形。
    3) 注意：不宜先在OB弧上量取小头圆周长。因为OB弧上的量取误差将在外弧（OA弧）上出现误差放大,可能导致超出允许的公差范围。
    4) 也可以通过计算展开扇形的圆心角来确定OD。圆心角可按下式计算：
    将本题已知条件代入，α=103.4°
    5) 如图2-3-0，在AA′下方拼画半个俯视图，将底圆6等分并过等分点画出素线；对展开图亦作同样等分并过等分点画出素线；不难看出，他们之间存在着曲面元和平面元、曲面弧长和平面弧长之间的一一对应、等量转换的关系。这种处理方法，我们在以后的展开中将时常用到。

 图-3-0  同心大小头的展开图

3.偏心大小头的展开
    偏心大小头的展开稍许复杂点，但与同心大小头一样,它也可以通过大头斜锥削掉小头斜锥而得出来，因此，偏心大小头的展开问题实质上是斜锥的展开问题。斜锥的展开程序，首先是按已知条件画出立面图，然后确定底圆等分点，再求各等分点素线的实长。怎么求？请看图2-3-1a：

                图2-3-1a  斜锥的已知条件与实长分析                 图2-3-1b 斜锥展开的第一步---求实长

 1) 已知条件：
      大头中径 φX　  小头中径 φS　　　斜锥台高 h   　偏心距 e      斜锥台上下口面平行且关于中面0S7对称
 2) 展开分析：
    ⑴ 在△0S6中，0S（点划线）是斜锥的高，S6（虚线）是素线06（粗线）在俯视图上的投影。因为0S垂直于底面，故△0S6是直角三角形；∠0S6为直角；而素线06是该直角三角形的斜边。这就是我们求斜锥素线实长的依据。
    ⑵ 锥台实际上是以同一斜锥切掉上面小锥形成的，显然，展开图组成上也有同样关系。展开时我们先处理大锥，后解决小锥。
    现在着手斜锥展开的第一步,求斜锥底圆各等分点上素线的实长。请看图2-3-1b。
 3) 按已知条件画立面图、俯视图。注意：画立面图时，应以中径为准。如果已知条件给定的是外径或中径，就必须根据板厚先求出中径。
    ⑴ 画水平线L1并在其上取点O1，E，使O1E=e；然后以O1为圆心，φX /2为半径画半圆，交水平线L1于1、7二点；
    ⑵ 过E作水平线L1的垂线L3并在其上取O2，使O2E=h；过O2作水平线L2；以O2为圆心，φS/2为半径画弧，交L2于1°、7°二点；
    ⑶ 连1、1°，7、7°并延长相交于O点；过O点作L1的垂线，垂足为S；过S作半圆的切线。S7、切线与半圆O1实际上构成斜锥的半个俯视图，所以这一步又叫做“拼接半个俯视图”。
 4) 利用∠OS7为90°,求实长。
    为了方便展开，以后我们画图时常常几个视图叠合画在一起，这样，点的标号可能会重复出现，绘图者自己当然清楚它们所在的视图；在对称情况下，作图一般只画一半，遇到全图展开时，对称点点号都按同号对称布置。了解这种处理方式，反而好寻找对应点。 
    ⑴ 六等分下口半圆； 
    ⑵ 以锥顶的垂足S为圆心，其到各等分点的长度为半径画弧，将各分点素线的投影长度等量转移到底边，得点1、2、3、4、5、6、7；连接各转移点与锥顶，则各转移点与锥顶的距离就是各分点素线的实长。
    ⑶ 上述实长线被小口线所截的上边线段即是小锥对应实长。
    以下进行斜锥展开的第二步，画展开图。请看图2-3-1c。

图2-3-1c  斜锥展开图

    1) 画展开图  
    ⑴ 以01为剖开线，在合适处垂直方向作中线07； 
    ⑵ 以0点为圆心，各分点素线实长为半径画得如图1、2、3、4、5、6弧；
    ⑶ 以7点为圆心，1/12底圆周长为半径画弧，交6弧于二个6点，再以两6点为圆心，1/12底圆周长为半径画弧，交5弧于二个5点；如此下去，同法求至两个1点；
    ⑷ 检查所得13个点的曲线长度，如与计算所得的底圆周长误差大于3mm，应及时修正； 
    ⑸ 圆滑连接各点得大口展开线；
    ⑹ 如图连接0点与各点，并在上述各线上由0点起量取小锥相应实长；圆滑连接所得各点即成小口展开线；
    ⑺ 连接大、小口对应端点，完成整个展开图。
    斜锥台展开全过程可参考图2-3-1。

4.放射线展开法
    按上述步骤展开的方法叫放射线展开法。放射线法常用于锥形曲面的展开，其展开基本过程是：
    1) 针对素线有同一顶点的锥面，根据其结构，依照一定的规则，将该曲面划分为N个共一顶点、彼此相连的三角微面元；对每个三角曲面元，都用其三顶点组成的平面三角形逐个替代，即用N个三角形替代整个曲面，其替代误差随着N的增加而减小；
    2) 在同一平面上按同样的结构和连接规则组合画出这些呈放射状分布的三角形组，逐步得到模拟整个曲面的近似展开图形；因为共一顶点这些三角形的边形成一组放射线；
    3) 利用这一组放射线我们可以将其他相似的展开曲线、开孔线等画出来；
    4) 确定替代元的数量N是很重要的实际问题，N过大，增大工作量和劳动时间；N太小，精度达不到要求；N一般根据误差大小、加工工艺和材料性质等因素通过实践选择。

三、弯头的展开与平行线法

1.圆管弯头及其主要参数
    弯头是用于管路转弯时的连接件。按口径，分为等径弯头和异径弯头；按制作方式，则有弯制、压制、挤制和焊制之分；按截面形状，可以分为圆管弯头、方管弯头、方圆管转换弯头、异径弯头（在转弯过程中截面大小改变而形状不发生改变）、异形转换弯头（截面形状在转弯过程中步发生改变）等第。我们这里讲的弯头展开，指的是一节节组焊而成的“虾米弯”，主要包括等径圆弯头、异径圆弯头、方圆管转换弯头；其他形状的弯头并不常见，因为没有特殊需要，谁也不会设计这种展开复杂，加工困难的玩意儿来增加成本、自找麻烦。
    焊制弯头的几个主要参数：（参看图2-3-2a）
    1.弯头角度：指弯头两个管口面间的夹角；
    2.弯头直径：指弯头管材的外径、内径或中径；
    3.弯曲半径：指管段轴线的内切圆半径。即管口中心到了两管口面交线的距离；
    4.弯头节数：弯头的端节是中间节的一半，两个端节合起来是一节，再加上中间节数，合称弯头的节数；
    关于弯头节数，目前没有统一的规定。有的把中间节的数量称为节数，有的把组成弯头的段数称为节数。如图2-3-2a所示弯头，前者叫二节弯，后者叫四节弯，我们钣金冷作工则叫三节弯。称三节弯的合理之处,一是便于半节角度的计算；二是弯头的节数等于焊接接口的数量，非常之明了；三是对两个半节组成的一节弯，前者就纳不入自己的系列，要换着名儿叫，后者则根本不存在一节弯头的概念。

2.平行线法
    现在介绍展开时常用的另一个方法---平行线法。平行线展开法常用于素线互相平行的柱形曲面的展开，其展开的基本过程如下：
    1) 针对曲面结构特点，依照设定的规则，将该曲面划分为N个彼此相连的梯形微面域（微面域以下称面元）；梯形的平行边一般选在曲面的素线处；N一般根据误差大小、加工工艺和材料性质等因素通过实践选择；
    2) 对每个梯形微面元，都用其四顶点组成的平面梯形逐个替代，即用N个梯形替代整个曲面，其替代误差随着N的增加而减小；
    3) 根据视图的尺寸、位置的对应关系，即：“长对正、高平齐、宽相等”的三等关系和上下、左右、前后的方位关系，用与各视图相关的平行线求取相贯点的位置、每个梯形各边的实际长度；
    4) 在同一平面上按同样的结构和连接规则组合画出这些梯形，于是得到模拟曲面的近似展开图形。弯头、三通等柱形表面的展开放样都是平行线展开法的典型例子。

3.等径弯头的展开
    请看图2-3-2a。

                       图2-3-2a  弯头的已知条件                             图2-3-2b  弯头实长图

1.弯头展开的已知条件与要求
   1) 已知条件
      弯头角度  α=90°；   管子外径 φW=60；    弯曲半径   r=15；    弯头节数   n=3；    样板厚度  δ=0.5
    2) 展开要求
    ① 用平行线法作外径φ60管的外包全节样板。
    ② 方法正确：(展开方法不是唯一的，本题要求按教师指定的方法做)
    ③ 作图精确：几何作图误差≤0.25，展开长度误差≤±1。
    3) 展开准备
    ① 求半节角度：按节数计算半节（端头）截面倾斜角度；（αb =α/2n）
    ② 展开三处理：按管径、材料板厚、连接方式和制作工艺决定展开中径、接口位置和余量。
    因为是外包样板，画立面图时，管口直径应该选择包在管外的样板卷筒的中径。本题已知条件中给出了管子外径，实际上就是给出了样板卷筒的内径。故样板卷筒的中径φ=60+0.5=60.5。

2.求实长：
    见上图2-3-2b。
    1) 画半节弯头端面角度线：
    ⑴ 先计算半节弯头端面角度；
        αb=α/2n=90°/(2′3)=15°  
    ⑵ 作水平直线OB，在OB上取OS=150；分别以O、S为圆心，OS为半径画弧交于R；
    ⑶ 4等份弧SR，得等分点K，连OK并适度延长。
    2) 画半节弯头立面图：
    ⑴ 先计算外包样板筒半径 R=f/2=（60+0.5）/2=30.25（可通过四等分长度为121的线段获取）；   
    ⑵ 在OB线的S点两侧取1、7两点，使S1=S7=30.25   
    ⑶ 过1、7作OB的垂线11′、77′，交OK于1′、7′；梯形（11′7′7）即是半节弯头立面图。
    3) 求实长:
    ⑴ 以S为圆心,S1为半径在下方画半圆并6等分之；
    ⑵ 过各等分点作OB的垂线，交OB为1、2、3、4、5、6、7；交OK为1′、2′、3′、4′、5′、6′、7′；则11′、22′、33′、44′、55′、66′、77′为半节弯头管口各分点上的素线实长。

3.画展开图：
    见图2-3-2c。
    ⑴ 计算展开长度：L=p（60+0.5）=190
    ⑵ 作平行素线组：在OB上取AB=190（注意误差控制在%%p1以内），12等分AB；过各分点作AB的垂线组，上下长度略超过77′；以11′为切开线，依次标明各分点；
    ⑶ 求端口展开曲线：从1′～7′引SB的平行线，与对应垂线交于1°、2°、3°、4°5°、6°、7°，圆滑连接这13个点，此即半节端口的展开曲线；曲线梯形（AB1°7°1°）为半节（端节）的展开图形。
    ⑷ 画全节展开图：以AB线为中轴线画出上述展开曲线的对称曲线。这两条关于AB对称的展开曲线及其对应端点连线所围成的区域就是展开图。
    实际操作时，一般用划规量取各点实长值，尺寸大时则直接用尺量取。再以AB上各对应分点为中心上下划弧或量取实长，以求展开点；然后将这些展开点圆滑连接成展开曲线。连线时可以用曲线板或弯曲的钢尺，也可以手工描。用曲线板或弯曲的钢尺时，一次画线至少要通过三点；手工描时，可以先把各点用直线连成折线，然后折线的基础上根据曲线的凹凸方向适度修描；为避免接缝处产生尖角，此处曲线要修描到其切线与接缝垂直。
    必要时，下料的钢板上还须画出折弯线，作为成型时弯曲加工的位置。这些线就是平行素线组。因此平行素线组在样板上还应该保留下来。

图2-3-2c  弯头展开图

4、直管号料
    小口径弯头一般直接用小口径管制作，不需要卷管，所以样板要做成外包式的，包着管子画线。至于大口径管，市面没有现成管材供应，只能卷制。但是由于单节弯头宽度尺寸变化大，上机卷制时弧度弯曲不均匀，因此工艺上常采用先卷管后割端节的做法，这也需要制作外包样板。样板制作好了以后，怎样要它去号料呢？
    1) 首先要计算准直管管长
    三节弯头由两个全节和两个半节组成，画线时不要数量不符，少则误工，多则浪费。尤其是，不要忘记了留切割和修整余量。由图中量得半节中心高为41.2，则直管长度L=6×41.2＋3k。（k为切割与修整余量，其值根据精度要求、切割方法和操作水平综合选取）
    2) 下料时应先在管端圆周四等分处沿轴向画出四条素线，作为外包样板对位时的基准线，并按事先计算的数据标出定位点；
    3) 按基准点线用样板画线，有误差要分析，及时调整纠正；
    4) 各基准线处也是弯头组装时的重要的对位点，为了防止工作中所画线被檫掉，最好在基准线处打上几点样冲眼或作上其他标记。
    等径三节弯头展开全过程可参考图2-3-2。

图2-3-2d  直管号料图

四、相贯线

1.相贯线的概念
    相贯线是空间曲面之交，是两个面方程的公共解。相贯线是空间曲线,由于实际应用中都采用视图来传递设计加工信息，因而图纸上显示的相贯线通常是它的投影曲线。以后，我们常说的相贯线，指的都是空间相贯线对某个面的投影线，而其本身反倒很少提及，一旦提起，还特别点明。
    由于投影是二维的平面曲线，它垂直于投影面方向上的特性因取定值而被忽略，但它反映在其他视图上，根据三视图长、宽、高方面的尺寸关系和前后、上下、左右方面的位置关系我们可以把它找回来；其他二向所具备的关系和特征则不因其为投影而完全丧失，研究其平面特性正是我们展开放样的必经之路。
    研究相贯线的作用。归纳起来有二点：
    ⑴ 设计、绘图的需要；
    ⑵ 用于展开放样。（主要是通过展开点求实长和借助相贯线求实长）

2.相贯线的画法  
    要画相贯线先找相贯线上的点，这些点我们称之为相贯点，将相贯点圆滑连接成线，并把这线当作相贯线。显然，这里存在误差，但是我们有办法使误差足够的小，小到你允许的范围以内，这就不失为一个实用的好办法。这种关键的相贯点找的越多，画线的精度越高。因此可知，要解决画相贯线的问题，重要的是解决找相贯点的问题。
    有时候，求得的展开点直接对应于等分点，由此通过相贯点完全可以求得实长了，展开线已没有画出来的必要。如果相贯体中的一个通过等分求得相贯点，而对另一个，这些相贯点根本不具有等距性质，不便测量，不便于展开。这时候我们可以先通过容易求的相贯点，画出相贯线；再等分另一个并通过前面得出的相贯线来确定等分点上素线的实长，继而画出展开图。这种做法也是展开实践中经常循用的方法。

3.相贯点的求取
    众所皆知，视图中的相贯线是一个二元函数，求相贯点必须对其中一个变量赋值。怎么取值？定步长取值，即按等差级数取值是公认的首选。从几何角度看，赋值问题其实就是相贯点的布点问题，此前用过的等分圆的作法就是基于这个思路。展开放样，动辄等分圆。为什么？因为等分圆的最大好处在于方便操作，这意味着校准了圆规的针距以后可以多次使用，而校准针距是很费时间的事。因此,展开实践中,大都采用等分待展开面来布置所求相贯点。
    鉴于展开曲线并非线性的，在不同的等分区间变化不一样，布点时我们常采用改进的等分法，即插值等分法。在曲线急剧变化段，适当插入几个等分点参与展开，以精细刻画该段的曲线变化。
    布点的另一个要求，一定要有关键点、极限点，如上下方向的最高点、最低点，左右方向的两个边点等等。倘若原来的布点方案实施中发现局部考虑不足，还要及时补点。
    等分数N的选定有讲究，一是其大小，根据精度要求和曲线变化确定；二是其性质，必须从操作方便考虑，一般取N=2i3j  （式中：i=（0，1）；j=（2，3，…）；理由是3等分半圆，2等分弧容易操作。倘若你让N取了13、37之类的质数，那就麻烦了。每等份长度T≈5～10％，（基本尺寸大时取小值，基本尺寸小时取大值）关于相贯点的求取，下面我们结合几个例子说明常用的一些方法。
    ⑴ 视图法：
    视图法从三个视图的内在关系（尺寸、位置）入手，通过三视图之间的三等关系和方位关系，在同一视图上画出每个相贯曲面具备这种关系的点的位置线；从这些位置线的交点去求出相贯点。视图法主要应用于关键点、极限点的求取上。
    ⑵ 素线法:
    二个直纹面相贯，相贯点是这两个曲面的公共点。从分析相贯点所具有某一特征的入手，在同一个视图上分别画出两个曲面上具有该点特征的二条素线，其交点就是相贯点。这种求相贯点的方法叫素线法。图2-3-4a中，在立面图上通过支管端圆等分点P(点P与中面ABB′A′的距离为h)作支管素线PP′, 然后在侧视图的主管表面上找到与中面ABB′A′的距离为h的点S并过S转向立面图上作主管素线SS′,两素线PP′与SS′的交点P′即为相贯点。图中等分点H与P到中面的距离一样，过H的素线HH′与SS′的交点H′为另一相贯点。

图2-3-4a  素线法求相贯点(1)

又如图2-3-4b中正锥面与圆柱面相贯,为了求得某一等分点3对应的相贯点3′的位置,我们先在主视图锥面上画出该点所在的素线L1；然后画出侧视图上的素线L1，L1与圆柱面的交点就是3′点在侧视图中的位置；由此向主视图画圆柱面轴线的平行线L2,则L1、L2的交点K就是所求相贯点。

图2-3-4b 素线法求相贯点

    ⑶ 轨迹法：
    轨迹法从点所具有某种特性的入手，通过三视图之间的关系，在同一视图上画出每个相贯曲面具有该特性的点的轨迹；从这些对应轨迹的交点去求出相贯点。例如通过到中面等距离点的轨迹求异径斜三通的相贯点；又如通过到两中轴交点等距离的点的轨迹求锥-管相贯、锥-锥相贯时的相贯点。
    图2-3-5中的两异径管相贯，就是利用距中面等距离的点的轨迹来求相贯点的。

图2-3-5  轨迹法求相贯点

    主视图中，从支管点5画出的虚线平行于支管轴线，这线即支管表面距中面距离等于30.31的点的轨迹；在侧视图中，设法求出相贯线上距中面距离也等于30.31的5′点，再过此点向立面图作主管轴线的平行线，此线即主管表面距中面距离等于30.31的点的轨迹；两轨迹的交点5″就是立面图上所求的相贯点。
    1.已知条件：支管外径f140；主管外径f165；轴线相交且夹角45°
    2.求作：在立面图画出两管的相贯线
    3.分析：要画相贯线，先求线上的关键点，然后连点成线，点越多越准确。本题相贯点的求得，可通过画出主管、支管表面距中面17等距离点的轨迹并求其交点的办法进行。
    4.步骤：
     ⑴ 先在立面图上过支管端圆各等分点画支管轴线的平行线，这些线就是与各等分点距中面17等距离的点的轨迹；
     ⑵ 之后按各等分点到中面的距离，在侧视图两管相贯线上找该点的对应位置。相贯线就在侧视图主管外圆上由支管边线界定的弧段，图中用粗线显示；
     ⑶ 过各找到的点引主管轴线的平行线与支管平行线组相交，找出并标明对应交点。
     ⑷ 圆滑连接上述各点，即得立面图上的两管相贯线。

    ⑷ 辅助截面法：
    辅助截面法采用一组截面去截两个相贯曲面或者采用二组截面分别对应截两个曲面,从截得的截线入手求相贯点。它依据相贯曲面的某一特征选取截面组，通过三视图之间的关系，在同一视图上画出每个相贯曲面上的截线,对应截线的的交点即为所求相贯点。请注意，这里的截面概念并不独指平面，而是已拓广到了曲面。截面的选取是有条件的，它截得的截线必须是简单易画的直线、圆弧，而不能是又要通过求许多点才能画出的复杂曲线。
    常用的截面组有平行平面组、旋转平面组和同心球面组。平行平面组一般用于柱面、锥面、球面等回转面，平行基面根据截线是否简单易画来确定；旋转平面组共一个转轴，一般用于锥面回转面，轴线多在回转轴线或锥顶连线；同心球面组则用于轴线相交的锥面、柱面和其他回转面，中心在轴线交点。例如布置与两轴线构成的中面平行的一组平行平面组求异径斜三