机械制图教程—5-1截交线（图文教程）

    工程上常遇到表面有交线的零件。为了完整、清晰的表达出零件的形状以便正确的制造零件，应正确的画出交线。交线通常可分为两种，一种是平面与立体表面相交形成的截交线，如图5-1a、b中箭头所示。另一种是两立体表面相交形成的相贯线，，如图5-1c、d中箭头所示。

    从图中可以看出，交线是零件上平面与立体表面或两立体表面的共有线，也是它们表面间的分界线。由于立体由不同表面所包围，并占有一定空间范围，因此，立体表面交线通常是封闭的，如果组成该立体的所有表面，所确定立体的形状、大小和相对位置已定，则交线也就被确定。

    立体的表面交线在一般的情况下是不能直接画出来的（交线为圆或直线时除外），因此，必须先设法求出属于交线上的若干点，然后把这些点连接起来。

本章着重介绍立体表面交线（截交线、相贯线）的画法。第四章已讲述的在立体表面上取点、线，在本章求画立体表面交线的基础。

一、概述

    平面与立体相交，即立体被平面截切所产生的表面交线称为截交线，该平面称为截平面。

（一）截交线的性质

    由于立体表面的形状不同和截平面所截切的位置不同，截交线也表面为不同的形状，但任何截交线都具有下列基本性质：

1.共有性

    截交线既属于截平面，又属于立体表面，故截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线上的每一点均为截平面与立体表面的共有线。

2.封闭性

    由于任何立体都占有一定的封闭空间，而截交线又为平面截切立体所得，故截交线所围成的图形一般是封闭的平面图形。

3.截交线的形状

    截交线的形状取决于立体的几何性质极其与截平面的相对位置，通常为平面折线、平面曲线或平面直线组成。

当平面与片面立体相交时，其截交线为封闭的平面折线（图5-2）。

当平面与回转提相交时，其截交线一般为封闭的片面曲线（图5-3a）或平面曲线和直线围成的封闭的平面图形（图5-3b）或平面多边形（图5-3c）。

（二）求画截交线的一般方法、步骤

    求画截交线就是求画截平面与立体表面的一系列共有点。求共有点的方法通常有：

（1）面上取点法；

（2）线面交点法。

    具体作图步骤为：

（1）找（求）出属于截交线上一系列的特殊点；

（2）求出若干一般点；

（3）判别可见性；

（4）顺次连接各点（成折线或曲线）。

1.面上取点法

    平面与立体相交，截片面处于特殊位置，截交线有一个投影或两个投影有积聚性，利用积聚性采用面上取点法，求出截交线上共有点的另外一个或两个投影，此方法称为面上取点法。图5-2b所示唯一正放的正六棱柱被正垂面P截切，由于截平面P是正垂面，截交线的正面投影可直接确定（即积聚在截平面的有积聚性的同面投影上），截交线的水平投影积聚在正六棱柱各侧棱面水平投影上，故由截交线的正面投影和水平投影可求出其侧面投影。

 2.线面交点法

    平面与立体相交，截平面处于特殊位置，截交线有一个投影或两个投影有积聚性，求立体表面上的棱线或素线与截平面的交点，该交点即为截交线上的点（共有点），此方法称为线面交点法，如图5-4所示。

 二、平面与平面立体相交

    平面与平面立体相交，其截交线是一封闭的平面折线。求平面与平面立体的截交线，只要求出平面立体有关的棱线与截平面的交点，经判别可见性，然后依次连接各交点，即得所求的截交线。也可直接求出截平面与立体有关表面的交线，由各交线构成的封闭折线即为所求的截交线。

    当截平面为特殊位置时，它所垂直的投影面上的投影有积聚性。对于正放的棱柱，因各表面都处于特殊位置，故可利用面上取点法求画其截交线（图5-2）。对于棱锥，因含有一般位置平面，故可采用线面交点法求画截交线。

    [例5-1] 求正垂面P与正四棱锥的截交线（图5-4）

    分析   截平面P为正垂面，它与正四棱锥的四个侧棱面都相交，故截交线围成一个四边形。

    由于截平面P的正面投影有积聚性，所以四棱锥各侧棱线的正面投影s′a′、s′b′、s′c′、s′(d′)与Ｐv的交点１′、２′、３′、（４′）即为四边形四个顶点的正面投影，它们都在Ｐv上，故本题主要是求截交线的水平投影和侧面投影。作图方法如下：

根据点的投影规律，在相应的棱线上求出属于截交线的交点，经判别可见性，然后依次连接各点的同面投影，使得正四棱锥被正垂面Ｐ截切后的投影。

三、平面与回转体相交

    主要介绍特殊位置平面与几种常见回转体相交的截交线画法。

（一）平面与圆柱相交

    由于截平面与圆柱轴线的相应位置不同，平面截切圆柱所得的截交线有三种：矩形、圆及椭圆，见表５-１。

    另一情况，当与圆柱轴线倾斜的截平面截到圆柱的上或下的底圆或上、下底圆均被截到时，截交线由一段椭圆与一段直线或两段椭圆与两段直线组成。

［例５-２］求圆柱被正垂面Ｐ截切后的投影（图５-５）。

    分析 由于圆柱轴线垂直Ｈ面，截平面Ｐ垂直Ｖ面且与圆柱轴线倾斜，故截交线为椭圆。截交线的正面投影积聚在截平面的正面投影Ｐv上；截交线的水平投影积聚在圆柱面的水平投影（圆）上；截交线的侧面投影为椭圆，但不反映真形。由此可见，求次截交线主要是求其侧面投影。可用面上取点法或线面交点法直接求出截交线上点的正面投影和水平投影，再求其侧面投影后将各点连线即得（本例是用面上取点法）。

作图步骤（如图５-５b所示）：

（１）求特殊点（如点Ｉ、Ｖ、Ⅲ、Ⅶ）　　由正面投影标出正视转向轮廓线上的点１′、５′，按点属于圆柱面的性质，可求得水平投影１、５及侧面１″５″。同理，由正面投影标出侧视转向轮廓线上的点的正面投影３′、（７′），可求得水平投影３、７及侧面投影３″、７″。点Ｉ、Ｖ分别为截交线椭圆的最低点（最左点）和最高点（最右点）；点Ⅲ、Ⅶ为椭圆的最前点和最后点。点Ｉ、Ｖ和点Ⅲ、Ⅶ也正是椭圆的长轴、短轴的端点。

（２）求一般点 可由有积聚性的水平投影上先标出２、８、４、６和正面投影２′、（８′）、４′、（６′），然后按点的投影规律求出侧面投影２″、８″、４″、６″。依此可再求出若干一般点。

（３）判别可见性 由于Ｐ平面的上面部分圆柱被切掉，截平面左低右高，所以截交线的侧面投影为可见的。

（４）依次光华连接各点的侧面投影１″、２″、３″、４″、５″、６″、７″、８″、１″为一椭圆即为所求。注意圆柱截切后其侧视转向轮廓线的侧面投影应分别画到３″、７″处。

［例５-３］   由联轴节接头的直观图（图５-６a）,画出它的三面投影图（图５-６b）。

分析   连轴节接点的主体为圆柱，其上端削扁部分是用左、右两个平行于圆柱轴线的对称的侧平面P及垂直与圆柱轴线的水平面Q截切而成。其下端开槽部分是用前、后两个平行于圆柱轴线的对称的正平面S及与圆柱轴线垂直的水平面R截切而成。平面P、S与圆柱表面的截交线是直线，而平面Q、R与圆柱表面的截线为垂直于其轴线的同圆周上的两段圆弧，故此例的圆柱的削扁与开槽部分的截交线均可用线面交点法作出。

  作图步骤（如图5-6b）：

（1）按图5—6b箭头所指方向为正面投影方向，先画出连轴节接轴主体（圆柱）的三面投影图。

（2）画上断削扁部分  由于截平面P为侧平面，Q为水平面，因此，它们与圆柱的截交线的正面投影都有积聚性。与截平面P的截交线为侧平矩形（面），其正面投影和水平投影都积聚为直线，分别积聚在Ｐv和Pн上，根据这两面投影，可求出其反映真形为矩形的侧面投影，截平面Q与圆柱轴线垂直，与截平面Q的截交线为同圆周上的、左右对称的两段水平圆弧，其水平投影积聚在圆柱面有积聚性的左、右圆周上，其正面投影积聚在Q左、右两边，根据这两面投影求出积聚在Q上的侧面投影，注意其两端点不与圆柱侧视转向轮廓线的侧面投影接触。

（3）画下端开槽部分  由于截平面S为正平面，R为水平面，因此它们与圆柱的截交线的侧面投影都有积聚性。与截平面S的截交线为正平矩形（面），其侧面投影和水平投影分别积聚成粗实直线和虚直线，分别积聚在S和S上。根据这两面投影，可求出其反映真形为矩形的正面投影。截平面R与圆柱轴线垂直，与截平面R的截交线为同圆周上的、左右对称的两段水平圆弧，其水平投影积聚在圆柱面有积聚性的左、右圆周上，其侧面投影在积聚在R的中间，根据这两面投影可求出积聚在R上左、右各一小段正面投影的粗实线，其间的一段虚线为槽底面不可见的有积聚性的证正面投影，也要画出。

以后注意，由于圆柱下端开一左右向的通槽，正视转向轮廓线的下端被切去了一段，作图后应擦去这一段的正面投影，用截平面S的截交线和截平面R的截交线的正面投影代替擦去的一段，成为下端圆柱正面投影的外形轮廓。

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（二）平面与圆锥相交

    由于截平面与圆锥轴线的相对位置不同，平面截切圆锥所得的截交线有五种：圆、椭圆、抛物线与直线组成的平面图形，双曲线与直线组成的平面图形及过锥顶的三角形，见表5-2。

另一情况，当θ>α且截平面截到圆锥的底圆时，截交线由一段椭圆曲线与一段直线组成。

除上述用面上取点法求圆柱截交线上的点外，还可以用下列辅助平面法求圆锥截交线上的点：辅助平面法是根据三面共点的几何原理，采用加辅助平面，使其与截平面和立体的表面相交，求出与截平面相交的辅助交线和与立体表面相交的辅助截交线的交点，即为所求截交线上的点，依此，完成截交线上一系列点的投影 ，如图5-7所示。

图5-7所示为一正放的圆锥被铅垂面P截切，如求截交线上一般点D、E，则可采用辅助水平面R与截平面P和圆锥面相交的辅助交线和辅助截交线的焦点D、E三面相交的交点，即为所求截交线上的点。

求共有点时，应先求出特殊点。其次，为作图准确，还应求出若干个一般点，并使这些点分步均匀。

[例5-4]  求圆锥被正平面P截切后的投影（图5-8）。

    分析   由于圆锥轴线为铅垂线，截平面P为正平面，故截交线由双曲线和直线组成。截交线的正面投影反映真形，左右对称；水平投影和侧面投影分别成为横向直线和竖向直线，且分别积聚在Pн、P上。因此，此例主要是求截交线的正面投影，可用线面交点法，面上取点法或辅助平面法作出。

作图步骤（如图5-8b所示）：

（1）求特殊点（如A、B、C）  截交线上的最坐点A和最右点B在底圆上，因此可由水平投影a、b在底圆的正面投影上定出a′、b′。截交线上的最高点C在圆锥最前侧视转向轮廓线上，因此，可由侧面投影c″直接得到正面投影c′。

（2）求一般点（如D、E）   作辅助水平面R的正面迹线R及侧面迹线R，该辅助面与圆锥面交线的水平投影是以1′2′为直径的圆，它与Pн相交得d、e，再求出d′、

e′和d″、e″，如图5-7和图5-8所示。

（3）判别可见性  由于P平面前面部分圆锥被切掉，所以截交线的正面投影

a′d′c′e′b′为可见。

（4）连线    按截交线水平投影的顺序，将a′、d′、c′、e′、b′、a′光滑地连接起来，即得截交线的正面投影a′d′c′e′b′a′（其中，a′d′c′e′b′为圆锥面上的截交线的正面投影；b′a′为圆锥底面上的截交线的正面投影，它在圆锥底面的有积聚性的正面投影上）。

[例5-5]求锥面被正垂面P截切后的投影（图5-9）。

    分析    由于圆锥轴线为铅垂线，截平面为正垂面，与圆锥轴线斜交，且与圆锥的所有素线相交，故截交线为椭圆。截交线的正面投影积聚成一直线，水平投影个侧面投影均为椭圆，但不反映真形。可采用面上取点法和线面交点法作出截交线的水平投影和侧面投影。也可选用辅助平面法求解本题。

在本例中也运用辅助平面法来求作截交线上一些点的投影。

作图步骤（如图5-9b所示）：

（1）求特殊点（如A、B、C、D）   截交线上最底点A和最高点B，是椭圆长轴上的两个端点，它们的正面投影a′、b′是圆锥体正面投影左、右两条正视转向轮廓线与截平面相交的交点的正面投影，可以直接求出。水平投影a、b和侧面投影a″、b″可按点从属于线的原理直接求出。截交线的最前C和最后点D是椭圆短轴上的两个端点，它们的正面

投影c′（d′）为a′b′的中点，可C、D两点作辅助水平面Q截切，作出Q面与圆锥轴线产生的截交线（纬圆）的水平投影求得c、d,再由c、d和c′、d′求得c″和d″。Ⅰ、Ⅱ两点是圆锥面前、后两条侧视转向轮廓线与截平面相交的交点，它们的正面投影

1′、2′和侧面投影1″、2″都可直接求出。其水平投影1、2可按点的三面投影关系求得。

 （2）求一般点（如点Ⅲ、Ⅳ）   可利用辅助平面法（图中用辅助水平面R）求出Ⅲ、Ⅳ两点的水平投影3、4和侧面投影3″、4″。

（3）判别可见性   截平面P上面部分圆锥被切掉，截平面左低右高，所以截交线的水平投影和侧面投影均为可见。

（4）连线   将截交线的水平投影和侧面投影光滑地连成椭圆，连线时注意曲线的对称性。也可用长轴a b和短轴c d作椭圆，得截交线的水平投影；用长轴c″d″和短轴

a″b″作椭圆，得截交线的侧面投影。

（5）整理外形轮廓线的侧面投影。

（三）平面与圆球相交

    平面与圆球相交，不论截平面处于何种位置，其截交线都是圆。当截平面通过球心时，这时截交线（圆）的直径最大，等于球的直径。截平面离球心越远，截交线圆的直径越小。

由于截平面对投影面位置的不同，截交线（圆）的投影也不相同。截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆（图5-10a、b）；截平面垂直于投影面时，截交线的投影积聚为直线（图5-10c的正面投影）；截平面倾斜于投影面时，截交线的投影为椭圆（图5-10c的水平、侧面投影）。

[例5-6]   求圆球被正垂面P截切后的投影（5-10c）。

分析    圆球被正垂面P截切后的截交线（圆），其正面投影积聚不在P上，为直线段a′b′且等于该圆的直径。截交线（圆）的水平投影和侧面投影均为椭圆。可用面上取点法或辅助平面法作图。

作图步骤（如图5-10c所示）：

（1） 求特殊点（如A、B、C、D、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ）  ①先求转向轮廓上的点A和B、Ⅲ和Ⅳ、Ⅴ和Ⅵ。a′和b′、3′和（4）′、5′和（6′）分别是截交线上的正视转向轮廓线、俯视转向轮廓线和侧视转向轮廓线上的点的正面投影，它们的水平投影和侧面投影可按点属于线的原理直接求出。其中，点A是截交线的最低点，也是最左点，点B是最高点也是最右点。②求截交线（圆）的H面投影椭圆、W面投影椭圆的长、段轴。在截交线（圆）的一对垂直相交的共轭直径AB是正平线，其正面投影a′b′的长度等于截交线（圆）的直径，它的侧面投影a″b″和水平投影a b分别为这两个投影椭圆的短轴。长轴CD和短轴AB互相垂直平分，处为正垂线位置的长轴CD的正面投影c′（d′）积聚在a′b′的中点上，水平投影c d和侧面投影c″d″可利用纬圆法求得，也可利用c d= c″d″= a′b′直接求得（读者自行分析其原因）。C、D两点分别是截交线发最前点和最后点。

（2）求一般点（如Ⅰ、Ⅱ）  可利用辅助平面法（图中用辅助水平面Q）求出Ⅰ、Ⅱ两点的水平投影1、2和侧面投影1″、2″。

（3）判别可见性   截平面P上面部分球体被切掉，截平面左低右高，所以截交线的水平投影和侧面投影均为可见。

（4）连线   将求得的截交线上点的水平投影和侧面投影光滑连成椭圆，连线时注意曲线的对称性。也可用长轴a b和短轴c d作椭圆，得截交线的水平投影；用长轴c″d″和短轴a″b″作椭圆，得截交线的侧面投影。

（5）整理外形轮廓线   在水平投影上，球的俯视转向轮廓线的水平投影只画到3、4处，在侧面投影上，球的侧视转向轮廓线的侧面投影只画到5″、6″处。

从上述诸例中可以看出，转向轮廓线上的点是截交线（亦是后面相贯线）上曲线段的转向（改变方向）点，故转向轮廓线因此而得名。

[例5-7]   见图5-11a，画出球筏芯的投影图。

分析   球筏芯的主体为圆球，有一个过球心的圆柱横孔，左右两端被两个侧平面S截成两个侧平圆，且左、右对称，直径相等，球体上部开一前后、左右对称穿通的凹槽，凹槽由两个侧平面P和一个水平面Q组成。两个P面与球的截交线是平行侧面的两段相同的圆弧，其侧面投影重合。Q面与球的截交线为同一圆周上的前后两段对称的水平圆弧，两个P面与Q 面之间的两条交线为正垂线。可以用纬圆法作出凹槽上平面P、Q与球面截交线的侧面投影和水平投影的圆弧。

作图步骤（如图5-11b所示）

（1）作两侧平面S与球的截交线，其正面投影和水平投影均分别积聚为直线，侧面投影反映截交线圆弧的真形。应该注意，由于左、右两侧个被切掉一段球面，作图后，应擦去正视转向轮廓线的正面投影和俯视转向轮廓线的水平投影的左、右个一段圆弧，再作出轴线横过球心的圆柱孔的三面投影。

（2）作凹槽两侧平面P与球的截交线，其正面投影积聚在P上，水平投影积聚成直线，侧面投影反映截交线为圆弧的真形，其半径为R。应该注意，由于球的顶部中间凹槽切掉一段球面，作图后，应擦去球的这一段侧视转向轮廓线的侧面投影。

（3）作凹槽底面（水平面）Q与球的截交线，其水平投影反映为同一圆周上的前后对称的两段圆弧的真形，其半径为R1，正面投影积聚在Q上，根据这两个投影，可求出侧面投影积聚成可见的同一圆周上的前后对称的两小段粗实直线，其间一段虚线为凹槽底面不可见的有积聚性的侧面投影，也应该画出。

（四）平面与组合回转体相交

    组合回转体由若干基本回转体组成。平面与组合回转体相交，则形成组合截交线。作图时首先要分析各部分的曲面性质及其分界线，然后按照它们各自的几何特性确定其截交线的形状，再分别作出。

[例5-8]   图5-12a所示为一顶尖，画出它的投影图。

分析   顶尖由一同轴的圆锥和圆柱组成，其上切去的部分可以看成被水平面P和正垂面Q截切而成。平面P与圆锥面的截交线为双曲线，与圆柱面的截交线为两平行直线，它们的水平投影均反映真形，而正面投影和侧面投影分别积聚在P和P上。平面Q截切圆柱的范围只截切到P面为止，故与圆柱面的截交线是一段椭圆弧，其正面投影积聚在Q上，侧面投影积聚在圆柱的侧面投影上，而水平投影为椭圆弧但不反映真形。所以，顶尖上的整个截交线是由双曲线、两平行直线和椭圆弧组成的。作图时，对截交线为两平行直线的部分，可利用圆柱投影的积聚性直接求得，而截交线为双曲线和椭圆弧的部分，则需要运用辅助平面法或面上取点线法进行作图。

作图步骤（如图5-12b所示）：

（1）画出组成顶尖主体（圆锥、圆柱）的三面投影图

（2）画出三段截交线的分界点   先求出双曲线与矩形、矩形与椭圆的分界点B、C和E、D的正面投影b′、（c′）和e′、（d′），再求其侧面投影b″、c″和（e″）、（d″），最后求其水平投影b、c和e、d。

（3）画左边双曲线的投影   求特殊点：双曲线的顶点A和末端两点B和C（即为中间截交线为两平行直线左边两端点）。先在正面投影上确定a′,然后求得它的其它两个投影

a、a″。再求一般点，如Ⅰ和Ⅱ两点，可用辅助侧平面R求得。用曲线光滑地连接各点，即得双曲线的水平投影，其正面投影和侧面投影分别积聚在P和P上。

（4）画右边椭圆弧的投影   先求特殊点F、E和D（中间截交线为两平行直线右边两端点），即先在正面投影上确定f′，就可求得它的其它两个投影f、f″。再求一般点，如Ⅲ和Ⅳ两点，可根据其截交线的正面投影和侧面投影有积聚性，定出3′、4′和3″、4″，再求得水平投影3、4。用曲线光滑地连接各点，即得椭圆弧的水平投影，其正面投影积聚在Qv上，侧面投影积聚在圆柱的侧面投影上。

（5）画中间直线部分的投影   将b和e、c和d相连成粗实线（即为P面与圆柱面截切的截交线为两平行直线的水平投影），其正面投影积聚在P上，侧面投影积聚在P上，将d和e相连成粗实线（两截平面P、Q交线的水平投影），b和c改画成虚线（下半部圆锥和圆柱同轴相贯的交线不可见圆弧线段的投影），即得这段不可见相贯线的水平投影。其正面投影积聚成直线，侧面投影积聚在有积聚性的圆柱的侧面投影（圆）上。

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[例5-9]   图5-13a所示为一连杆头，画出它的投影图。

分析   连杆头由组合回转体切割而成。这个组合回转体的左端是圆柱，中段是内环台的一部分，右段是圆球，它们之间是同轴相贯的光滑过渡。用两个前后对称的正平截平面P截切这个组合回转体，再开一个正垂圆柱孔，就形成了这个连杆头。截平面P为正平面，它与右段球面的截交线为圆，与中段内环面的截交线为一般曲线，与左段圆柱不相交。由于P为正平面，其正面投影反映真形，水平投影和侧面投影分别积聚在Pн和P上，又由于两个正平截平面P在这个连杆头上前后对称截切，前后截交线的正面投影互相重合，因此，本题就只介绍求前面正平面截成的截交线的正面投影。

作图步骤（如图5-13b所示）：

（1）求这三段回转面的分界线（即是求三段同轴回转体的相贯线）   分界线的位置可用几何作图方法求出。在正面投影上作球心与内环台的正视转向轮廓线的圆心的连心线

O′O′1，O′O′1与球、环的正视转向轮廓线的正面投影交于点a′，则a′即为球面和环面的正视转向轮廓线分界点的正面投影，过a′向下引垂直于轴线的直线，即为球面与环面分界线的正面投影。由O′1点向圆柱正视转向轮廓线的正面投影引垂线，即为环面与圆柱面分界线的正面投影，由于左边的圆柱面未参加截切，它与环面的分界线无必要求出。由于这三段曲面光滑过渡，故分界处不画线。找出分界线是为了确定截平面P截切连杆头之后，作出不同截交线的分界点。

（2）作前面的截平面P（正平面）与右段球面的截交线为圆的投影   该圆的半径R可从水平投影或侧面投影找出。其正面投影反映真形，但只画到分界线上的点1′（此点为球、环两面截交线的正面投影的分界点）处为止。其水平投影和侧面投影分别积聚在Pн和P上。

（3）作截平面P与中段内环面的截交线的投影   该段截交线为一般曲线，其顶点的正面投影2′可从水平投影2求出。此外，在2′与1′（为环、球两面截交线的正面投影的分界点）之间，还可在内环面上任作纬圆，先求出点3″，后求出点3和3′等。

（4）依次光滑连接中段内环面截交线上点的正面投影，它与右段球面截交线为圆弧的正面投影即为所求。

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